共通テスト 数学Ⅰ・A 予想模試 第1回

a＝1 とする。b に着目すると、①の左辺は因数分解して
　（2x−1）{（b＋）x ＋ b}
と表せる。したがって x ＝ 1/ は①の解の一つであることがわかる。

b＝2 とする。①の左辺を因数分解すると
　（x ＋ ）{（a＋）x − }
となる。

a＝2√2 のとき、①の解は
　x ＝ −/ ，　 − √2
である。

a＝−3 であることは、①（b＝2 のとき）の解が x＝−1/3 だけであるための　サ。

∠ACB について余弦定理を用いると
　cos∠ACB ＝ /
であり、0°＜∠ACB＜180° であるから ∠ACB ＝ ° である。
このとき、△ABC の外接円 O の半径 R は、正弦定理より
　R ＝ √/
である。

円 O の周上に、点 D を直線 AB に関して点 C と反対側にとり、AD ＝ 3 とする。四角形 ACBD は円 O に内接するので
　∠ADB ＝ 180° − ∠ACB ＝ 120°
であり、cos∠ADB ＝ −/ である。
これを用いて △ABD に余弦定理を適用すると、BD ＝ である。

四角形 ACBD の面積は √/ である。
さらに、△ABD の外接円の半径を R′ とするとき、R′ と（1）で求めた R の大小関係として正しいものは ハ である。

太郎さんが投げたボールの軌道を表す2次関数を、y ＝ ax² ＋ bx ＋ c（a, b, c は定数、a ≠ 0）とおく。
仮定2から、この放物線の頂点の座標は（, ）である。よって、定数 a を用いて
　y ＝ a（x − ア）² ＋ イ
と表せる。これに仮定1（点（0, 1）を通ること）を用いると
　a ＝ −/
となる。a ＜ 0 であることから、この放物線は上に凸であることもわかる。
さらに右辺を展開して整理すると、a の値を用いて
　y ＝ ax² ＋ x ＋
と表せる。

次に、花子さんが投げたボールを考える。花子さんのボールの軌道を表す放物線は、太郎さんのボールの軌道を表す放物線を平行移動したもので、2点（1, 2）,（5, 2）を通った。
このとき、平行移動の量は x 軸方向に 、y 軸方向に である。したがって、花子さんのボールの最高点の高さは m であり、太郎さんのボールの最高点より高い。2人のボールの高さが等しくなるのは、水平距離が x ＝ / のときである。

最後に、太郎さんのボールについて考える。太郎さんのボールの地面からの高さが 52 m 以上になるのは、水平距離 x が
　 ≦ x ≦
の範囲にあるときである。
同じように、花子さんのボールについても高さが 52 m 以上になる水平距離 x の範囲を求め、その範囲の幅（長さ）を太郎さんの場合と比べると、セ。

8月の平均気温 y の分布を、図1のヒストグラムと図2の箱ひげ図に表した。
(i) y のデータについて第1四分位数と第3四分位数を求めると、四分位範囲は . ℃ である。
(ii) 次の(a)，(b)の正誤の組合せとして正しいものを、下の⓪〜③のうちから一つ選べ。　チ
　(a) 札幌（8月の平均気温23.0℃）は「第1四分位数−1.5×（四分位範囲）」を下回るので、外れ値である。
　(b) 8月の平均気温が28.5℃を超える都市は、3つ以上ある。

図3は、10都市の（1月 x，8月 y）を表した散布図であり、表1は x，y の平均・分散・共分散である。
(i) x と y の相関係数に最も近い値を、次の⓪〜⑨のうちから一つ選べ。　ツ
(ii) 次の(a)，(b)の正誤の組合せとして正しいものを、下の⓪〜③のうちから一つ選べ。　テ
　(a) この10都市では、1月の平均気温が高い都市ほど、8月の平均気温も高い傾向がある。
　(b) 相関係数が正であることから、1月の気温を上げれば8月の気温も上がるという因果関係があるといえる。

各都市の年較差（8月と1月の平均気温の差）d ＝ y − x を考える。
(i) d の分散 s_d² を s_x²，s_y²，s_xy を用いて表すと、s_d² ＝ ト である。
(ii) このとき、s_d² と s_x²＋s_y² の大小関係は s_d² ナ （s_x²＋s_y²） である。

太郎さんは「この都市では8月に晴れの日が多い（晴れの日の割合が0.5より大きい）」という主張を、基準5%で仮説検定することにした。ある年の8月の20日間を無作為に選ぶと、晴れの日は15日であった。
晴れの日の割合を p とし、帰無仮説のもとで20日中の晴れの日数を X とする。表2は P(X≧k) の値である。
(i) この仮説検定の帰無仮説として正しいものを、次の⓪〜②から選べ。　ニ
(ii) 表2より、帰無仮説のもとで晴れの日が15日以上となる確率は、0.05より ヌ。
(iii) したがって、基準5%のもとでこの主張は ネ。

点Hが三角形ABCのどのような点であるかを、次のように調べる。

OA⊥OB かつ OA⊥OC であるから、直線OAは平面アに垂直である。よって直線OAは平面ア上のすべての直線と垂直であり、とくに
　OA⊥BC　……①
が成り立つ。一方、OHは平面ABCに垂直であるから
　OH⊥BC　……②
①、②より、直線BCは2直線OA、OHで定まる平面イに垂直である。したがって、平面イ上にある直線AHについて BC⊥AH が成り立つ。同様にして AB⊥CH も示される。
以上より、点Hは三角形ABCの各頂点から対辺に下ろした3本の垂線の交点、すなわち三角形ABCのウである。

次に、この三角錐について、下の(a)、(b)、(c)の正誤を考える。
　（a）平面OABと平面OBCは垂直である。
　（b）平面OABと平面ABCは垂直である。
　（c）直線OAは平面OBCに垂直である。
(a)、(b)、(c)の正誤の組合せとして正しいものはエである。

以下、OA＝1、OB＝2、OC＝3 の場合を考える。
△OAB、△OBC、△OCAはいずれも直角三角形だから、三平方の定理より
　AB＝√，　BC＝√
である。また、OA、OB、OCは互いに垂直だから、三角錐O-ABCの体積は
　V＝
である。

3辺が AB＝√5、BC＝√13、CA＝√10 の三角形ABCの面積を求めると
　△ABC＝/
である。これと(i)の体積Vを用いる。三角錐O-ABCの体積は、△ABCを底面、OHを高さとみて V＝(1/3)×△ABC×OH とも表せるから
　OH＝/
である。

図のように、頂点Bから辺CAに下ろした垂線の足をE、頂点Cから辺ABに下ろした垂線の足をFとする。（2直線BE、CFは三角形ABCの垂線であり、(1)より点Hで交わる。）
∠BEC＝∠BFC＝90° であるから、4点B、C、E、Fは1つの円周上にあり、この円の直径は線分スである。
この円に対して、点Aを通る2本の割線A—E—C と A—F—B に方べきの定理を用いると
　AE・AC ＝ AF・AB ＝
が成り立つ。ここで AB＝√5、CA＝√10 であるから
　AF ＝ √/
であり、また
　AE：EC ＝ 1：
である。

はじめに、あたりくじを引くまでの確率を考える。

1 回目にあたりくじを引く確率は / である。

次に、2 回目に初めてあたりくじを引く（1 回目ははずれ、2 回目にあたり）確率を考える。

太郎：引いたくじを戻さないから、2 回目にあたる確率は 1 回目と同じ 2/5 ではないね。
花子：そうだね。1 回目にはずれると、箱には残り 4 本のうちあたりが 2 本。だから「1 回目にはずれた」という条件のもとで 2 回目にあたる確率を掛ければいいよ。

この方針にしたがうと、2 回目に初めてあたりくじを引く確率は / である。

3 回引いてもあたりくじが 1 本も出ない（3 回ともはずれ）確率は / である。

これを利用すると、余事象を考えて、3 回以内に少なくとも 1 回あたりくじを引く確率は / である。

このゲームでは、あたりくじを引くまでに引いた回数に応じて、次のように賞金が支払われる。また、1 回参加するには参加料 350 円を支払う。

　1 回目であたり … 500 円　／　2 回目であたり … 300 円
　3 回目であたり … 100 円　／　3 回ともはずれ … 0 円

1 回のゲームでもらえる賞金を X 円とする。

X＝100 となる確率は / である。
また、X の期待値は E＝ 円である。

この模擬店では、参加料 350 円に対して『賞金の期待値が参加料以上（参加者が平均的に損をしない）ならば参加は妥当である』と考える。この基準によると、このゲームに 1 回参加することは チ。

次に、1 回目であたったときの賞金を a 円（a は正の数）に変更することを考える。2 回目であたり 300 円、3 回目であたり 100 円、3 回ともはずれ 0 円、参加料 350 円は変えないものとする。

このとき、賞金の期待値は
　E＝(2a＋)/5　（円）
と表される。

参加が妥当（賞金の期待値が参加料 350 円以上）となるのは、a ≧ のときである。